El área de un triángulo es igual al semiproducto de la base por la altura.
Esto es cierto para cualquier triángulo plano.
Área con fórmula de Herón
Conociendo la longitud de los tres lados a, b y c, se puede calcular el área para cualquier triángulo euclideo. Primero se calcula el semiperímetro s y luego se aplica la fórmula de Herón, (no se requiere conocer la altura).Área con longitud de sus lados
Conociendo la longitud de los tres lados a, b y c, se puede calcular el área para cualquier triángulo euclideo, (éstas fórmulas no requieren pre calcular el semiperímetro ni conocer la altura).Área usando coordenadas cartesianas
Si un triángulo genérico (en el plano euclidiano ℝ²), tiene alguno de sus vértices (supongamos el A) ubicado en (0, 0) —el origen de las coordenadas cartesianas—, y las coordenadas de los otros dos vértices (supongamos B y C) vienen dadas por B = (xB, yB) y C = (xC, yC), entonces el área puede ser calculada como ½ del valor absoluto del determinate (reducido a los dos vértices arbitrarios B y C).Si un triángulo genérico (en el plano euclidiano ℝ²), tiene sus tres vértices ubicados de modo arbitrario (ninguno en el origen), entonces la ecuación es:
Para un triángulo genérico (en el espacio euclidiano ℝ³), cuyas coordenadas son { A = (xA, yA, zA), B = (xB, yB, zB) y C = (xC, yC, zC) }, entonces el área viene dada por la suma pitagórica de las áreas de las
respectivas proyecciones sobre los tres planos principales (es decir x = 0, y = 0 y z = 0):
Centros del triángulo
Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:- Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad
- Centroide el punto de concurrencia de las tres medianas.
- Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.
- Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.
- Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.
- Exincentros son los centros de las circunferencias exinscritas.[3] Se encuentra en la intersección de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos.
Cálculo de los lados y los ángulos de un triángulo
En general, hay varios métodos aceptados para calcular la longitud de un lado y la medida de un ángulo. Mientras que ciertos métodos pueden ser adecuados para calcular los valores de un triángulo rectángulo, otros pueden ser requeridos en situaciones más complejas.Para resolver triángulos (en general) se suele utilizar los teoremas del seno y del coseno, para el caso especial de triángulos rectángulos se utiliza generalmente el Teorema de Pitágoras.
Razones trigonométricas en triángulos rectángulos
En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente pueden ser usadas para encontrar los ángulos y las longitudes de lados desconocidos. Los lados del triángulo se denominan como sigue, con respecto a uno de los ángulo agudos:- La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo.
- El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo agudo considerado.
- El cateto adyacente es el cateto que forma el ángulo agudo considerado.
Seno, coseno y tangente
El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.Funciones inversas
Las funciones trigonométricas inversas pueden ser usadas para calcular los ángulos internos de un triángulo rectángulo al tener la longitud de dos lados cualesquiera.Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la de la hipotenusa.
Elementos notables de un triángulo
Mediana
El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama mediana.[4]- Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto -punto G- llamado centroide o baricentro del triángulo.[5]
- Cada una de las tres medianas divide al triángulo en dos triángulos de áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice es 2/3 de la longitud de la mediana.
- Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.
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Mediatríz y circunferencia circunscrita
Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado trazada por su punto medio (también llamada simetral). El triángulo tiene tres mediatrices, una por cada uno de sus lados , y .Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro y radio que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es la circunferencia circunscrita al triángulo, y su centro se denomina circuncentro.[7]
- En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triángulo.
- En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triángulo.
- En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.
- Propiedad
Bisectríz, circunferencia inscrita y circunferencia exinscrita
Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos.Las tres bisectrices internas de un triángulo son concurrentes en un punto O. La circunferencia inscrita del triángulo es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.[8]
Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren con la bisectriz interior del ángulo restante en puntos denominados exincentros, que son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo. Hay 3 exincentros, al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencias exinscritas son tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.
Alturas y ortocentro
Se llama altura de un triángulo al segmento de recta que une un vértice del triángulo con el lado opuesto -o su prolongación- formando un ángulo recto. El lado opuesto es la base del triángulo. Todos los triángulos tienen tres alturas.[9] Estas 3 alturas se cortan en un punto único (son concurrentes), llamado ortocentro del triángulo.[10]- Propiedades
- Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértice recto del triángulo.
- Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo.
- Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.