domingo, 4 de marzo de 2012

Área de un triángulo



El área de un triángulo es igual al semiproducto de la base por la altura.
A = \frac{bh}{2}
Esto es cierto para cualquier triángulo plano.

 Área con fórmula de Herón

Artículo principal: Fórmula de Herón
Conociendo la longitud de los tres lados a, b y c, se puede calcular el área para cualquier triángulo euclideo. Primero se calcula el semiperímetro s y luego se aplica la fórmula de Herón, (no se requiere conocer la altura).
s = \frac1{2}(a+b+c)
\acute{A}rea = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

 Área con longitud de sus lados

Conociendo la longitud de los tres lados a, b y c, se puede calcular el área para cualquier triángulo euclideo, (éstas fórmulas no requieren pre calcular el semiperímetro ni conocer la altura).
\acute{A}rea=\frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}
\acute Area=\frac{1}{4} \sqrt{ 2 \left(a^2 b^2+a^2 c^2+b^2 c^2\right)-a^4-b^4-c^4}

 Área usando coordenadas cartesianas

Si un triángulo genérico (en el plano euclidiano ℝ²), tiene alguno de sus vértices (supongamos el A) ubicado en (0, 0) —el origen de las coordenadas cartesianas—, y las coordenadas de los otros dos vértices (supongamos B y C) vienen dadas por B = (xByB) y C = (xCyC), entonces el área puede ser calculada como ½ del valor absoluto del determinate (reducido a los dos vértices arbitrarios B y C).
\mathrm{\acute{A}rea} = \frac{1}{2}\left|\det\begin{bmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{bmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|.
\mathrm{\acute{A}rea} = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|.
Si un triángulo genérico (en el plano euclidiano ℝ²), tiene sus tres vértices ubicados de modo arbitrario (ninguno en el origen), entonces la ecuación es:
\mathrm{\acute{A}rea} =  \frac{1}{2} \big| (x_A - x_C) (y_B - y_A) - (x_A - x_B) (y_C - y_A) \big|.
\mathrm{\acute{A}rea} = \frac{1}{2} \left| \det\begin{bmatrix}x_A & x_B & x_C \\  y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_B - x_A y_C + x_B y_C - x_B y_A + x_C y_A - x_C y_B \big|
Para un triángulo genérico (en el espacio euclidiano ℝ³), cuyas coordenadas son { A = (xAyAzA), B = (xByBzB) y C = (xCyCzC) }, entonces el área viene dada por la suma pitagórica de las áreas de las
\mathrm{\acute{A}rea} = \frac{1}{2} \sqrt{\left| det \begin{bmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\right|^2 +
\left|det \begin{bmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\right|^2 +
\left|det \begin{bmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\right|^2 }.
respectivas proyecciones sobre los tres planos principales (es decir x = 0, y = 0 y z = 0):
 Centros del triángulo
Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:
El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

 Cálculo de los lados y los ángulos de un triángulo

En general, hay varios métodos aceptados para calcular la longitud de un lado y la medida de un ángulo. Mientras que ciertos métodos pueden ser adecuados para calcular los valores de un triángulo rectángulo, otros pueden ser requeridos en situaciones más complejas.
Para resolver triángulos (en general) se suele utilizar los teoremas del seno y del coseno, para el caso especial de triángulos rectángulos se utiliza generalmente el Teorema de Pitágoras.

 Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Artículo principal: Funciones trigonométricas
Un triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90° (π/2 radianes), aquí etiquetado C. Los ángulos A y B puede variar. Las funciones trigonométricas especifican las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos interiores de un triángulo rectángulo.
En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente pueden ser usadas para encontrar los ángulos y las longitudes de lados desconocidos. Los lados del triángulo se denominan como sigue, con respecto a uno de los ángulo agudos:
  • La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo.
  • El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo agudo considerado.
  • El cateto adyacente es el cateto que forma el ángulo agudo considerado.

 Seno, coseno y tangente

El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.
\text{sen} \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {c}.
El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.
\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {c}.
La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente.
\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}.
Nota: Los cocientes de las tres relaciones anteriores no dependen del tamaño del triángulo rectángulo.

 Funciones inversas

Las funciones trigonométricas inversas pueden ser usadas para calcular los ángulos internos de un triángulo rectángulo al tener la longitud de dos lados cualesquiera.
Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la de la hipotenusa.
\theta = \arcsin \left( \frac{\color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}{\color{Red}\textrm{hipotenusa}} \right)
Arccos (arcocoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto adyacente y la de la hipotenusa.
\theta = \arccos \left( \frac{\color{Blue}\textrm{adyacente}}{\color{Red}\textrm{hipotenusa}} \right)
Arctan (arcotangente) puede ser usada para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la del cateto adyacente.
\theta = \arctan \left( \frac{\color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}{\color{Blue}\textrm{adyacente}} \right)
En los cursos introductorios de geometría y trigonometría, la notación sin−1, cos−1, etc., es frecuentemente utilizada en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la notación de arcsin, arccos, etc., es estándar en matemáticas superiores donde las funciones trigonométricas son comúnmente elevadas a potencias, pues esto evita la confusión entre el inverso multiplicativo y la función inversa.

 Elementos notables de un triángulo

 Mediana

Artículo principal: Mediana (geometría)
Medianas de un triángulo.
El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama mediana.[4]
  • Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto -punto G- llamado centroide o baricentro del triángulo.[5]
  • Cada una de las tres medianas divide al triángulo en dos triángulos de áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice es 2/3 de la longitud de la mediana.
  • Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.
Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), éstas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, un cuarto elemento desconocido (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla):

Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )
M_a=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(b^2+c^2\right)-a^2}Triangle3Medians3ColRGB-01.svg
M_b=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(a^2+c^2\right)-b^2}
M_c=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(a^2+b^2\right)-c^2}
a=\sqrt{2 \left(b^2+c^2\right)-4 M_a^2}b=\sqrt{\frac{a^2}{2}-c^2+2 M_a^2}c=\sqrt{\frac{a^2}{2}-b^2+2 M_a^2}
a=\sqrt{\frac{b^2}{2}-c^2+2 M_b^2}b=\sqrt{2 \left(a^2+c^2\right)-4 M_b^2}c=\sqrt{-a^2+\frac{b^2}{2}+2 M_b^2}
a=\sqrt{-b^2+\frac{c^2}{2}+2 M_c^2}b=\sqrt{-a^2+\frac{c^2}{2}+2 M_c^2}c=\sqrt{2 \left(a^2+b^2\right)-4 M_c^2}
( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: Ma, Mb y Mc )[6] — ( Semilados: ma=na = ½ a , mb=nb = ½ b y mc=nc = ½ c ).



 Mediatríz y circunferencia circunscrita

Mediatrices y circunferencia circunscrita de un triángulo.
Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado trazada por su punto medio (también llamada simetral). El triángulo tiene tres mediatrices, una por cada uno de sus lados [AB], [AC] y [BC].
Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto O equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro O y radio OA que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es la circunferencia circunscrita al triángulo, y su centro se denomina circuncentro.[7]
Propiedad
Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es el punto medio de su hipotenusa.

 Bisectríz, circunferencia inscrita y circunferencia exinscrita

Bisectrices y circunferencia inscrita de un triángulo.
Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos.
Las tres bisectrices internas de un triángulo son concurrentes en un punto O. La circunferencia inscrita del triángulo es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.[8]
Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren con la bisectriz interior del ángulo restante en puntos denominados exincentros, que son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo. Hay 3 exincentros, al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencias exinscritas son tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.

Alturas y ortocentro

Artículo principal: Ortocentro
Alturas y ortocentro de un triángulo.
Se llama altura de un triángulo al segmento de recta que une un vértice del triángulo con el lado opuesto -o su prolongación- formando un ángulo recto. El lado opuesto es la base del triángulo. Todos los triángulos tienen tres alturas.[9] Estas 3 alturas se cortan en un punto único H (son concurrentes), llamado ortocentro del triángulo.[10]
Propiedades
  • Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértice recto del triángulo.
  • Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo.
  • Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.


 Recta de Euler

Artículo principal: Recta de Euler
Recta de Euler de un triángulo.
Los tres puntos H, G y O están alineados en una línea recta llamada recta de Euler del triángulo y verifica la relación de Euler:[11] [12]
 OH = 3 OG \,
Los puntos medios de los tres lados, los tres pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos [AH], [BH] y [CH] están en una misma circunferencia llamada circunferencia de Euler o circunferencia de los nueve puntos del triángulo.

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